失業保険とは会社を辞めた日から3ヵ月後以降に貰えるものなのですか？

自分は正社員で、自分から今の会社を辞める予定のものです。
よろしくお願いします。

会社を辞めた日と言うよりは、会社を辞めたらその会社から離職票を発行してしてもらい、失業給付金を受給するためにその他の必要書類含めハローワークに提出し、手続きを行い説明会などに参加しなければなりません。
従って、会社が離職票を発行するのに日数がかかってしまうと、ハローワークでの手続きが出来ないのでその分遅れます。
つまり、必要な手続きが完了した時点からと解釈してください。

会社の都合（倒産や経営不振による解雇など）で止む無く退職せざるを得なかった場合は約2週間程度以内から受給出来ます。

自己都合の場合は、上記に要する期間に、さらに3ヶ月のブランク（待機期間）が有りますので概ね３ヵ月半後以降からの受給になります。

失業保険の事で質問します。6月30日で自己都合で退職するんですがこの場合、7月に入ってすぐ就職できたら一時金などは貰えないのでしょうか？

失業保険の受給申請をおこなって７日間の待機期間が経過すれば、早期就職の際に再就職手当の受給対象となります。ただし、自己都合退社の場合は、３ヵ月の給付制限の最初の１ヶ月に就職する場合は、ハローワーク（または指定の人材紹介機関）の紹介でなければダメです。

7月一杯で自己都合で退職予定です
つい先日、会社から失業保険はもらうのか？それによって会社が行う手続きが変わると言われたですが実際のところはどうなのでしょうか？
ここで
貰わないと
いうと何かデメリットはあるのでしょうか？

できれば３ヶ月の待機期間終了？までには就職したいとは思っています

雇用保険の失業給付の手続きをしておけば、３ヶ月の待機期間終了より前に再就職できた場合には、条件が揃っていれば「早期再就職手当」がもらえますので、メリットはあります。（条件が揃っていなければ意味ないですが）

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