失業保険の労働期間とは実際に働いていた期間の事をいうのですか？
それとも雇用保険の払ってた期間の事をいうのですか？

雇用保険の被保険者期間（加入期間）です。
以前の被保険者期間も雇用保険の受給が無ければ合算されます。

２月末会社都合で退職し失業保険手続きせず離職票は手元にあります。すぐ今の会社に就職し社会保険加入してますが合わず４ケ月で辞めるつもり。前の会社の離職票で即失業保険はもらえるか？今の会社の自己都合になり
３ケ月の待機期間が必要でしょうか？

離職票は、在籍中の会社を退職したら、手配していただけます。２月末までお出での会社の離職票は、使えません。
加入期間は、1年未満。1年から１０年。１０年から２０年。20年以上の4段階ですから、10年を過ぎたほうが宜しいです。

失業保険について教えてください。Ｈ２１年６月に前職を辞め、会社都合だったために、早く手当を数日分ですがいただき、Ｈ２１年７月４日に派遣の仕事につき、
再就職手当をいただいたのですが、今回、家族の転勤のため、派遣の仕事をやめる事になりそうなのですが、失業保険は１年間働かないともらえないと聞いたのですが、例えば６月末まで働いたとして、いただく事はできますか？７月４日まで働いたらいただけるのでしょうか？昨年、手当をもらったばっかりなのでいただけないのでしょうか？教えてください。

前回の受給期間(離職した翌日から1年間)がいつからになっていたわかりませんが、推察するに6月末～7月3日の失業給付と再就職手当てをいただいたということですよね。

受給期間に所定給付日数が支給されることが基本です。

あなたの場合、前回の所定給付日数に残りがあるようですので、今離職してもその残り分が支給されます。

基本手当日額×(所定給付日数－支払い済日数)－再就職手当て＝残額

上記計算式で残額があれば、それを限度額として支給されます。(前回の離職日まで)
ただし、たいした金額は残っていない可能性は高そうですね。
それと毎年8月1日で基本手当日額は見直されていますので、雇用保険受給資格者証に記載されている基本手当日額とは額が変わっているはずです。
そこを忘れないでください。

前回の残額からの支給を選択した場合、現在の雇用保険をかけている期間は次回の失業時にプラスされます。
例えば、質問者さんが3月末で退職を選んだ場合、9ヶ月ですね。
次回の就職先で3ヶ月を超えれば合算で1年以上となりそこで退職しても受給対象となります。

今働いている職場でかけている雇用保険からを望むのなら、6月末まで働けば受給可能です。

いずれにしてもどれを選ぶかはあなた次第です。

失業保険の給付資格について
給付資格について あるのか、ないのかという事についてご質問したいのですが、

当方 派遣で１年と５ヶ月働いたのち、
派遣先の同じ会社で契約社員雇用され １月１日から 派遣とはインターバルなしで働いております。

実はいろいろあり来月か６月にやめようと思うのですが、
私は失業保険の給付資格はあるのでしょうか？


７月１日以降であれば 保険は頂けるとは思いますが、
父の介護の事情により、あまり退職を待つ訳にはいきません。
詳しい方 ご教授願います。

健康保険と違い、雇用保険の加入期間は「給付を受けておらず１年以内の再雇用」の場合は合算できます（同じ会社なので再雇用という形ではないかもしれませんが）
なので派遣が「切れ目なく1年5ヶ月勤務」なら年数的には条件は満たしています。

ただ問題なのはそちらよりも「退職後、即働ける状態であり、求職活動を行なえるか」です。
お父さんの介護のためにしばらく就業の意志が無いなら、給付は先延ばしになります。
権利は放っておくと退職後一年で失効してしまうので、延長の手続きが必要です。

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